Задание пятое Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями. Сделать чертеж
2х-у-1=0, у=х в квадрате -4
у1 = 2 х – 1
у2 = х**2 – 4
для наглядности и некоторого упрощения выкладок поднимем обе кривые вверх по у на 4, в результате чего получим:
у1 = 2 х + 3
у2 = х**2
Кривая у2 - парабола "рогами" вверх. Прямая у1 – прямая, отсекающая её донную часть.
Найдём её левую и правую крайние точки отсекаемой фиг , для чего найдём корни уравнения у1 = у2
2 х + 3 = х**2 корни : х1 = –1 х2 = 3
Порщадь финуры S
S = опред. интеграл (2 x + 3 – x**2) dx в пределах от – 1 до 3
неопределённый интеграл = x**2 + 3 x – x***3/3 + постоянная
подставляем сюда x2 и x1 и вычитаем из первого второе:
S = (9 + 9 – 9) – ( 1 – 3 + 1/3) =
S = 9 – 1 + 3 – 1/3 = 32/3
Задание шестое Найти частное решение диф ур-ия 1-ого порядка
cos в квадрате х*sin2y dy-sin в квадрате хdx =0, у(0)=0
cos**2( x) sin(2y) dy – sin**2(x) dx = 0 ; y(0) = 0
cos**2( x) sin(2y) dy = sin**(x) dx
sin(2y) dy = dx sin**2(x) /cos**2(x)
Разделим левую и правую часть на dt, где t –параметр (вспомогательная переменная) и
sin(2y) dy/dt = dx/dt sin**2(x) /cos**2(x)
Левая часть зависит только от у, правая – только от х .
Так что получаем два уравнения : для у и для х:
sin(2y) dy/dt = А
dx/dt sin**2(x) /cos**2(x) = А
где А – произвольная постоянная
Интегрируем их по отдельности :
– cos(2y)/2 = А t + c1
tg(x) – x = А t + c2
где с1 и с2 – постоянные интегрирования.
Пусть x = 0 при t = 0 , тогда с2 = 0
А так как при у = 0, то с1 = –1/2
ведём новую переменную u = А t :
– cos(2y)/2 = u – 1/2
tg(x) – x = u
Таким образом, получиv решение уравнения через параметр u. Исклюxив его , получим решение в неявной форме :
2tg(x) – 2x – 1 = – cos(2y)
или в явной
y = arcos(2 x + 1 – 2 tx(x))/2
Задание седьмое
Найти общее решение диф. ур-ия 2-ого порядка
у два штриха-6у штрих+9у=8х-х в квадрате
y'' – 6y' + 9y = 8x – x**2
1. Найдём решение однородного уравнения.
y'' – 6y' + 9y = 0
решение ищем в виде y = exp(px) . Тогда получаем алгебраическое уравнение для параметра р :
p**2 – 6 p + 9 = 0
тут два корня р1 = р2 = 3 Это означает, что уравнение вырожденное и его общее решение exp(3x) ( c1 x + c2) где c1 и c2 – постоянные.
2. Ищем некоторая частное решение в виде y = a x**2 + b x + c где a, b
c – коэффициенты.
Их найдём подстановкой этого решения в уравнение:
2a – 12 a x – 6 b + 9 a x**2 + 9 b x + 9 с = 8 х – х **2
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях:
9 a = – 1
– 12 a + 9 b = 8
2 a – 6 b + 9 c = 0
a = – 1/9
b = (8 + 4/3)/9 = 28/27
с = ( 2/9 + 6 28/27 )/9 = ( 2/9 + 56/9 )/9 = 58/81
Итак, общее решение :
y = – x**2/9 + 28/27 x + 58/81 + exp(3x) ( c1 x + c2)
Кстати, это решение следует ещё проверить прямой подстановкой в заданное уравнение, но мне лень.
у мечтов есть гнусное свойство сбываться
Вот первая
