Моделирование электромеханических преобразователей на основании функции энергии

Аннотация

Цель настоящего доклада – представить унифицированный подход к описанию электромеханических преобразователей с линейной и нелинейной магнитной цепью. С этой целью применяется «классический» лагранжев формализм, основанный на функции коэнергии. Известно, что при условии линейности магнитной цепи преобразователя функция коэнергии имеет квадратичную форму токов в обмотке преобразователя и характеризуется собственной и взаимной индуктивностями. При условии магнитной нелинейности функция коэнергии становится непредсказуемой токовой функцией со многими переменными, что значительно осложняет описание. В настоящем докладе представлены два подхода к унификации описания преобразователя.

Первый подход – более общий – основан на приближении функции коэнергии степенным рядом токов со многими переменными. По отношению к токовым формам более высокого порядка будет использоваться особая система обозначений. Такая форма функции коэнергии является всего лишь расширением квадратичной формы для линейной цепи. В докладе будут представлены все значимые величины для преобразователя – связанные потоки обмоток, нелинейная и динамическая индуктивности могут оцениваться с точки зрения этой обобщённой формы функции коэнергии. Тем не менее для инженерной практики проектирования реальных многообмоточных преобразователей обобщённое описание кажется чрезмерно сложным.

Второй подход основывается на физической интерпретации явлений, происходящих внутри преобразователей переменного тока. Эквивалентный ток намагничивания для отдельной гармоники МДС всех обмоток преобразователя является заменяющим переменным для описания функции коэнергии. Свойства функции коэнергии для основной магнитной зоны предсказываются эвристически с применением инженерной интуиции и опыта. Основным упрощающим допущением для данного подхода является разделение потоков в основной магнитной цепи преобразователя и в зонах рассеяния. В докладе детально представлена общая форма уравнений преобразователя, полученных таким образом на основании лагранжева формализма. Для данных уравнений индуктивности не требуются совсем, поэтому они имеют одну и ту же форму как для линейной, так и для нелинейной магнитной цепи. Особенно упрощённые уравнения выводятся при учёте только основной гармоники МДС. Это подтверждается представлением уравнений для синхронной машины с явно выраженными полюсами.

Основания

Правильное математическое описание электромеханических преобразователей, объясняющее насыщение магнитной цепи, достаточно сложное. Для вывода уравнений для преобразователя при так называемом «методе цепи» обычно применяется теория электромеханического преобразования энергии. Данный подход намного проще «метода поля», основанного на вычислениях для электромагнитного поля. Он предназначен для решения задач оперативного управления преобразователями, взаимодействующими с окружающими системами. Метод вывода уравнений для моделей цепи электромагнитных преобразователей известен как лагранжев формализм. Преобразователь – это совокупность магнитно-связанных катушек, расположение которых зависит от механической переменной, а для преобразователей с вращательным движением – от угла вращения φ. Для преобразователя с N независимых катушек (обмоток), проводящих ток i = [i₁,...,i_N] общие лагранжевы уравнения будут иметь следующий вид:

где: E_co (i,φ) – функция коэнергии, а другие обозначения являются общеприменимыми для электрических и механических величин и параметров. Для вывода уравнений для преобразователя достаточно знать коэнергию как функцию для всех токов i₁,...,i_N и угол φ. По определению функция коэнергии представлена характеристиками катушек

ψ_n = ψ_n (i₁,...,i_N, φ) для n ∈ {1,2,...,N}         (2)

соотносящими связанные потоки любой отдельной катушки со всеми токами и углом

Описание коэнергии

Для метода Лагранжа требуется, чтобы функция коэнергии была единственной функцией со многими переменными (в математическом смысле) для всех токов катушки, что в физическом отношении означает, что коэнергия не зависит от того, как токи подаются в катушки. Это означает, что все характеристики катушки также должны быть заданы однозначным образом. Это позволяет сделать вывод о том, что характеристики катушки должны отвечать соотношению

Существует два отправных момента для описания электромеханических преобразователей с нелинейной магнитной цепью:
1 основание на совокупности характеристик катушек, т.е. на множестве функций (2), удовлетворяющих условию (4);
2 основание на функции коэнергии, т.е. на одной функции многих переменных (3).

В обоих случаях необходимая функция может быть определена только путём расчёта распределения электромагнитного поля в магнитной цепи преобразователя. Однако для этих случаев требуются различные вычисления. Второй подход, основанный на коэнергии, кажется проще, поскольку требуется определить только одну функцию, но необходима достаточно высокая точность при расчёте поля для определения её производных по отношению к токам.

Общеизвестно, что при условии линейности магнитной цепи функция коэнергии имеет квадратичную форму токов с индуктивностями для коэффициентов

Для нелинейной магнитной цепи форма функции коэнергии неизвестна. Её можно выразить только приближённо на основании данных вычислений для электромагнитного поля. Для этого может учитываться только ряд Тейлора со многими переменными с чётными (нечётными) членами

В работах [6, 8] была предложена другая форма данного ряда. Каждый член ряда, записанный в качестве формы более высокого порядка, аналогичен квадратичной форме для линейного случая

Квадратичная форма часто записывается в матричной форме

для матрицы с постоянными элементами A₂(φ). По аналогии формы более высокого порядка могут быть записаны в матричных формах. Форма четвёртого порядка может быть записана следующим образом

где матрица А^с₄(φ) имеет размеры (N² x N²) и её элементы являются токонезависимыми

Далее, форма шестого порядка может быть записана как

Матрица А^с₄ (φ) как и ранее, имеет элементы, независимые от тока, но её размеры N³ x N³. Формы следующего более высокого порядка могут быть записаны аналогичным образом.

Уравнения для преобразователей

При применении таких матричных обозначений коэнергии функция может быть записана в виде [8]

Вектор связанных потоков в качестве производных коэнергии в отношении отдельных токов может быть записан в виде

что позволяет получить общие лагранжевы уравнения для преобразователей (1) в виде

где формула электромагнитного момента имеет вид

Для данных уравнений индуктивности не требуются совсем, поэтому они применимы как для линейных цепей, так и для нелинейных цепей. Тем не менее индуктивности можно достаточно легко определить (даже в случае нелинейности) при помощи общей формулы ψ (i,φ) = L_n (i,φ) · i

электрические уравнения (10a) записываются следующим образом

Также можно определить динамические индуктивности

электрические уравнения (10a) записываются следующим образом

Общие формулы для коэнергии и связанных потоков, представленные выше, потребовали множество расчётов и некоторое количество необходимых коэффициентов, быстро растущее с количеством обмоток преобразователя и количеством членов для приближённого определения функции коэнергии. В действительности для преобразователей это достаточно сложная процедура, и с инженерной точки зрения следует найти более простой метод.

Упрощённый метод

Предыдущий метод можно значительно упростить при том предположении, что насыщение основной зоны потока можно рассматривать отдельно от зон рассеяния потоков отдельных обмоток. Функцию коэнергии можно разделить на две части

Насыщение основной магнитной цепи теперь можно рассмотреть в качестве эффекта суммарных МДС для всех обмоток преобразователя. Если учитывать только основную гармонику МДС, лишь в качестве примера, можно ввести эквивалентный ток намагничивания, порождающий те же МДС с формулой

где ток определяет величину суммарных МДС, а угол α определяет угловое положение данного максимума. Данный эквивалентный ток намагничивания можно выразить формулой [8]

где i' – вектор токов, заново рассчитанный на основании эффективного числа витков для p-гармоники i'_n = w_n · k_p,n · i_n (w_n - число витков, k_p,n – коэффициент заполнения обмотки для p-гармоники), а матрица W определяется угловыми положениями магнитных осей отдельных обмоток α₁,...,α_N

Угловое положение суммарных МДС α следует из формулы

Коэнергия, запасённая в основной магнитной цепи, может быть выражена в качестве функции только двух замещающих переменных i_µ и α

Преимущество данного изменения вполне очевидно. Лагранжевы уравнения (1 a) и (1 б) теперь можно записать следующим образом

для n ∈ {1,...,N}

Производные

следуют из формул (17) и (19).

Производные

зависят от свойств функции коэнергии E_m (i_µ, α)

которая в свою очередь зависит от геометрии основной магнитной цепи и свойств магнитного материала. Формулы для члена E_m (i_µ, α) можно предсказать эвристически при помощи инженерных интуиции и опыта. Для преобразователей с равномерным воздушным зазором (если пренебречь пазами), функцию коэнергии можно предсказать как функцию только эквивалентного тока намагничивания, являющегося чётной функцией для этого тока. Её простейшее приближённое представление можно рассматривать в виде степенного ряда

Для преобразователей с явно полюсным ротором данную функцию можно предсказать в виде

где функции E_m,n ((i_µ)²) являются чётными функциями эквивалентного тока намагничивания. Процедуру, описанную выше, можно достаточно легко применить для более высоких гармоник МДС, вводящих эквивалентные токи намагничивания для более высоких гармоник МДС, соответственно порядкам 3p, 5p или 7p. Тем не менее свойства функции коэнергии для более чем двух гармоник эвристически предсказать не так просто. Соображения относительно предсказания функции коэнергии в основной магнитной цепи можно найти в [7].

Пример

Рассмотрим синхронную машину с тремя идентичными фазовыми обмотками на статоре, каждая из которых производит синусоидальные МДС p-гармоники, и обмоткой возбуждения, расположенной на роторе с явно выраженными полюсами, также производящей синусоидальные МДС, с тем же числом полюсных пар. Демпфирующая или возбуждающая обмотки ротора представлены эквивалентными моногармоничными обмотками для оси d, q. Будем считать ось обмотки возбуждения основной. Тогда положения обмотки следующие:

Эквивалентный ток намагничивания i_µ выражается в соответствии с определением (17) квадратичной формой

где:

В данной формуле i_s,n – токи фазы статора, i_f – ток возбуждения, i''_D и i''_Q – токи эквивалентных короткозамкнутых обмоток типа «беличья клетка» в оси “d”, “q” (рассчитанные заново для величин статора), w_s, w_f – числа витков, а k_s,p, k_f,p – обмоточные коэффициенты для p-гармоники. Угловое положение максимума суммарных МДС следует из формулы

Эквивалентный ток намагничивания i_µ и угловое положение pα являются замещающими переменными, описывающими коэнергию синхронных машин, которую можно предвидеть как

Лагранжевы уравнения в виде (21 a,б) являются основанием для вывода уравнений для машины для естественных координат с применением формул (25) и (26). Однако в инженерной практике часто используется модель синхронных машин ‘d-q’. Применимые производные позволяют вывести уравнения, аналогичные уравнениям «классического» вида, использующим индуктивности

Единственное отличие заключается в том, что основные связанные потоки для осей ‘d’ и ‘q’ представляются нелинейными зависимостями

где появляются две нелинейные функции

Данные функции представляют нелинейные свойства основной магнитной цепи синхронной машины с явно выраженными полюсами. Две замещающие переменные данных функций: эквивалентный ток намагничивания i_µ и угловое положение pα определяются формулами

Уравнения (28 a,б) применимы для насыщенной основной магнитной цепи, но также при предположении её линейности. Данные уравнения не требуют индуктивностей, которые – по определению – связаны с обмотками в линейной магнитной цепи. Можно проверить, что при предположении линейности связанные потоки ψ_ad и ψ_aq сводятся к хорошо известным видам ψ_ad = L_ad ·(i_d + i'_f + i'_D) и ψ_aq = L_aq ·(i_q + i'_Q), где L_ad и L_aq постоянны.

Заключение

Настоящий доклад свидетельствует о том, что метод, основанный на функции энергии, является эффективным способом вывода уравнений для электромеханических преобразователей. Общий метод, при котором функция коэнергии приближённо определяется степенными рядами со многими переменными, является полностью верным, однако кажется слишком сложным для инженерной практики.

Упрощённый метод основан на физическом толковании явлений, происходящих внутри преобразователя, и инженерной интуиции. Он позволяет относительно легко расширить «классические» уравнения преобразователя для магнитной нелинейности магнитного сердечника. Тем не менее требуется некоторое упрощение.

В основном метод, основанный на функции энергии, устраняет необходимость в применении индуктивностей в качестве существенных параметров электромеханических преобразователей, которые фактически могут использоваться для описания линейной магнитной цепи. Оба метода сочетают значения цепи и поля для механических преобразователей, а коэнергия – это единственная величина, которая позволяет это сделать. В качественном отношении её можно определить на основании величин, применяемых в методе цепи, а в количественном – при помощи расчётов для поля.

Литература
1. Vas P. “Generalized analysis of saturated AC machines”, Archive fur Elektrotechnik, Vol. 63, (1981), pp. 57 – 62.
2. Brown J.E., Kovacs K.P., Vas P. “A method of including effects of saturation in the generalized equation of AC machines” IEEE Transactions on PAS, Vol. 101, (1982), pp.96 – 103.
3. Nehl T.W., Fouad F.A., Demerdash N.A. “Determination of saturated values of rotating machinery incremental and apparent inductances by an energy perturbation method”, IEEE Transactions on PAS, Vol 101, (1982), pp.4441 – 4451.
4. Vas P., Hallenius K.E., Brown J.E., “Cross-saturation in smooth air-gap electrical machines”, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 1, (1986), № 1.
5. Boldea I., Nasar S.A., “Unified treatment of core losses and saturation in the orthogonalaxis model of electrical machines”, IEE Proceedings B, Vol 134, (1987), pp. 355 – 363.
6. Sobczyk T.J. “An Energy-Based Approach to Modelling the Magnetic Non-Linearity in AC Machines”, Archives of Electrical Engineering, PWN, Warszawa, Vol. 48, (1999); Part I – “General formulas for the co-energy, linked fluxes and inductances”. Bull 1-2. 219-229, Part II – “General equations of AC machines accounting for saturation due to the main MMF harmonic”, Bull 3. 279 – 294.
7. Sobczyk T.J. “Properties of the co-energy function for AC machines with non-linear magnetic circuit”, Periodica Polytechnica, Ser. El. Eng. TU Budapest, Vol. 45, (2002), № 4, pp. 1 – 11.
8. Sobczyk T.J. “Methodological aspects of mathematical modelling of induction machines” (in Polish), WNT Publisher, Warsaw, 2004, Chapters 3 & 5.
9. El Serafi A.M., Kar N.C. “Methods for determining the intermediate-axis saturation characteristics of salient-pole synchronous machines from the measurement d-axis characteristics”, IEEE Transactions on Energy Conversion, Vol. 20, (2005), № 1, pp. 88 – 97.
10. Sobczyk T.J.”Application of higher order forms for the description of electromechanical energy converters, Archives of Electrical Engineering , PWN, Warsaw, Vol. 60, (2011), № 1, pp.67 – 75.