Анализ колебаний оптических кабелей, проложенных в туннелях, при сейсмических воздействиях с учётом особенностей их закрепления на опорах

DOI 10.52350/2072215Х_2021_6_4      //    Материал поступил в редакцию 27.09.2021

В последние десятилетия как прикладными математиками, так и инженерами, исследования в области колебаний тросов вантовых конструкций, подвешенных кабелей и других подобных конструкций получили большое внимание. Из-за низкого структурного демпфирования в местах крепления кабельного изделия сейсмическое воздействие в туннелях или коллекторах или ветровое поле и капли дождя на открытых пространствах могут вызывать колебания галопирующего типа [1–4]. Для подавления нежелательных колебаний сложных конструкций, например мостов, устанавливаются демпферы. Для крепежа кабельных изделий такие решения не всегда возможны или не используются по экономическим соображениям. В открытых пространствах, согласно наблюдаемым в ходе инженерных экспериментов в аэродинамической трубе, капли дождя удерживаются на наклонном кабеле или тросе, вызывают образование одного или нескольких ручейков на поверхности. Наличие проточной воды на кабеле изменяет его массу, что может привести к нестабильности его колебаний. То же самое может происходить и при обледенении в условиях отрицательных температур.

В шахтах и туннелях во время землетрясений выпадение из стенок туннеля или коллектора небольших осколков или частей обшивки при нарушении структурной целостности конструкции туннеля от сотрясений может приводить к ударному воздействию на проложенные кабельные изделия. Колебания кабельных изделий, тросов или иных расположенных в туннелях искусственных сооружений могут быть описаны математически с помощью решения струнных или балочных задач [5, 6]. Поперечные колебания оптических кабелей, достаточно длинных в одном направлении, позволяют использовать приближение струны. Эти вибрационные задачи могут быть использованы в качестве модели для колебаний кабелей, вызванных дождём и ветром на открытых пространствах. Чтобы подавить нежелательные вибрации в струне (или балке), на границе могут быть применены демпферы.

Основная цель этой статьи – показать, как решения в рамках моделей для струны или балки для задачи в области конечной длины или на полубесконечности могут быть использованы для анализа колебательных процессов кабельных изделий с крепежами различного характера в туннелях и коллекторах. Представлен ряд решений для линейной и нелинейной струнной задачи, которая связана с системой масса-пружина-демпфер в точке крепления, для задачи о поперечно колеблющейся струны и балки, имеющей закреплённую, скользящую, зажатую или демпфирующую границу при x = 0 (х – координата, отсчитываемая от точки крепления вдоль кабеля). Таким образом, даётся представление о том, насколько эффективно демпфирование границ для уравнений струны и балки, используемые как модели для проложенных в туннелях кабельных изделий. Свойства отражения и затухания волн, распространяющихся на неклассической границе для волновых уравнений на полубесконечном интервале, изучались в [5] с использованием формулы Д’Аламбера. Рассматриваются линии оптических кабелей (ОК) связи, проложенные в туннелях или коллекторах, подверженных воздействию сейсмических нагрузок. Математические модели расчёта и программное обеспечение для их реализации были разработаны с учётом конструктивной и геометрической нелинейности рассматриваемых конструкций, возникающей в процессе колебаний. Определены условия, при которых вибрационные воздействия существенно влияют на напряжённо-деформированное состояние рассматриваемых ОК. Выявлены и проанализированы особые свойства крепёжных систем, возникающие в этих условиях, влияющие на предельные механические характеристики ОК. Даны рекомендации по расчёту и проектированию.

Рассмотрим идеально гибкую струну конечной длины в положительном x-направлении. Предполагается, что гравитацией и другими внешними силами можно пренебречь. Вертикальное поперечное смещение u (x,t) , где x – координата, отсчитываемая от точки крепления вдоль кабеля, а t – время, удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

u _tt = a²u _xx - 2νu _t +  f (x,t)        (1)

с начальными условиями, отвечающими за смещение φ(x)   и скорость ψ(x)  :

u(x,0)= φ(x)  и u_t (x,0)= ψ (x)

причем  F(x,t)  = m∙ f(x,t)  есть вынуждающая сила, приходящаяся на единицу длины, m – линейная плотность массы струны, f (x ,t)  – ускорение, которое получила бы точка струны с абсциссой х в момент t, если бы на нее не действовали никакие другие силы, кроме вынуждающей. 2v u _t  представляет собой сопротивление v , пропорциональное скорости u _t  (с коэффициентом 2 для удобства представления решения), которое исчезает, если колебания происходят в среде без сопротивления.

Поперечные колебания струнной задачи при смещении одной опоры (модель 1)

Пусть при сейсмическом воздействии волновая нагрузка возбуждает колебания по крайней мере на одном из концов кабеля. Это представлено как циклическое гармоническое наложенное смещение верхнего граничного условия (рис. 1).

Рис. 1. Модель поведения кабеля при смещении одной из опор:

Е – модуль упругости; A – амплитуда или размах колебаний; L – длина кабеля; m – удельная масса кабеля;  α  – угол вертикального наклона

Уравнение движения может быть получено с учётом установившегося динамического равновесия с использованием принципа Д’Аламбера:

         (2) 

где y₀(x)-   начальное состояние кабеля;  N(t)   и ∆N(t)  – растягивающее усилие и его приращение соответственно.

Уравнение (2) может быть решено путём разделения переменных, в котором предполагается, что решение имеет форму уравнения (3), где Y _j ( t )   – отвечает за поведение во времени, а Ф _j ( x )   – за моды колебаний, j =1,2,3,…

                                                        (3)

Изменение натяжения кабеля пропорционально приращению длины кабеля, которое равно сумме трёх членов, как видно из формулы (4). Приращение длины кабеля равно смещению граничного условия вдоль хорды кабеля. Для смещений перпендикулярно хорде кабеля это может быть аппроксимировано с использованием разложения Тейлора и включает члены до второй степени. Аналогично приращению длины из-за деформации кабеля динамическая деформация приближается к разложению Тейлора и отбрасывает члены более высокого порядка.

                    (4)

Применяя метод Галеркина [7], можно преобразовать дифференциальное уравнение в частных производных (2) в систему дифференциальных уравнений второго порядка. В общем случае это система связанных уравнений Матье. Однако условия их сопряжения достаточно малы, когда соотношение между провисанием и размахом колебаний невелико [7]. Это состояние можно выразить в рамках теории Ирвина через параметр λ ² [8], который количественно оценивает соотношение упругих и геометрических эффектов. Когда λ ² < 0,1  , систему уравнений можно разделить, получив дифференциальное уравнение второго порядка для каждой моды j:

Предполагается, что смещение опоры во времени мало относительно длины кабеля и имеет гармонический характер с амплитудой А частотой Ω  . С учётом угла наклона кабеля α  решение может быть записано следующим образом:

∆y(t) = A cos (α) cos(Ωt),

∆x(t) = A sin (α) cos(Ωt),                                                (5)

Однако уравнение колебаний (2) в общем случае является нелинейным, что представляет собой следующий уровень сложности по сравнению с (1), и решение (5) уже не может быть применено. Для принципиальной оценки характера колебаний рассмотрим модель нелинейного автономного осциллятора с одной степенью свободы. Такая модель в общем случае описывается дифференциальным уравнением

                                                           (6)

где функция ϕ(u,u)   зависит от смешения и скорости смещения и является нелинейной в общем случае от u и u  .

Как известно, не существует общей аналитической процедуры решения подобных уравнений. Однако положительным моментом здесь является то, что колебательная система допускает представление в двумерном фазовом пространстве ( u , u ). Это приводит к существенным упрощениям при анализе глобальной динамики: например, к отсутствию хаотических режимов и очень ограниченному набору возможных предельных траекторий [9]. Тем не менее, подобной информации недостаточно, чтобы понять поведение системы при произвольных начальных условиях. Если принять, что функция ϕ  в (7) зависит только от зависимой переменной u ( t ) , но не от её производной, ситуация упрощается.

Рассмотрим движение в окрестности такого положения для конкретного примера потенциальной функции W ( u)  четвёртого порядка с тремя положениями равновесия (функция W(u) имеет два минимума):

W (u) = 1/2( - u ² + u⁴ ).                                                     (7)

Уравнение движения оптического кабеля для указанного случая будет иметь вид:

u - u +2 u ³ =0 .                                                                          (8)

Решение этого уравнения имеет две устойчивые неподвижные точки при u  = ± 1/  √ 2   и одну неустойчивую неподвижную точку u = 0 . Фазовый портрет системы (зависимость скорости от смещения в относительных единицах) представлен на рис. 2.

Рис. 2. Фазовый портрет, соответствующий уравнению (9)

Траектория будет колебаться вокруг одного из положений равновесия, а в предельном случае – вокруг обоих положений равновесия. Она представляет собой сепаратрису. Вполне естественно, что сепаратриса проходит через седловую точку (0,0) на фазовой плоскости. Явное уравнение для этой траектории имеет вид:

                                     (9)

Знаки плюс и минус соответствуют двум ветвям сепаратрисы. Скорость осциллятора на сепаратрисе экспоненциально уменьшается со временем при t → ±∞ ; причём движение по полной петле сепаратрисы займёт бесконечное время. Следует отметить, что сепаратриса приближается к седловой точке при t → ±∞.  Такие фазовые траектории часто называются гомоциклическими и являются типичными для одномерных консервативных систем с несколькими состояниями равновесия [9].

Таким образом, если рассматривать колебания кабельного изделия как колебания одномерного осциллятора с сильной или даже со слабой нелинейностью, то можно убедиться, что эти колебания могут иметь не одно положение равновесия. Несомненно, во многих приложениях, связанных с колебательными процессами, необходимо рассматривать движение осциллятора с несколькими положениями равновесия (или бесконечным множеством). Типичными примерами такого рода могут быть молекулы с несколькими конформационными состояниями или колебательные системы после потери устойчивости их конструктивными элементами [9].

Для потенциальной функции общего вида в окрестности каждого положения устойчивого равновесия (то есть в каждой потенциальной яме) колебания могут быть описаны в квазилинейном приближении. Если движение ограничено, то иногда при больших энергиях могут быть использованы приближения виброударного типа. Это может быть достаточно трудной задачей, поскольку не существует общего алгоритма для её решения. Поэтому, чтобы оценить основные эффекты, мы нуждаемся в ещё более простых разрешимых моделях, которые в совокупности позволяют учесть все важные особенности динамического поведения системы [9].

Первая и наиболее популярная модель представляет квазилинейный осциллятор, часто называемый моделью Дуффинга. Мы ограничимся симметричной нелинейностью низшего порядка и предположением о линейности силы вязкого демпфирования. Тогда уравнение движения, аналогичное (2), может быть записано следующим образом:

0                                      (10)

где m – масса осциллятора; k и γ – коэффициенты линейной жесткости и демпфирования соответственно; α   – коэффициент нелинейности.

Использование процедуры масштабирования: u = Uw , t = τ / ω₀  приводит к уравнению

                                       (11)

где

               λ = γ/ ω₀ m                       β = a U²  /  m ω₀ ² .

Уравнение (11) может быть точно проинтегрировано для случая λ = 0, но здесь интересен квазилинейный случай, которому соответствуют малые отклонения от режима линейных колебаний и, таким образом, малые значения β  (по сравнению с единицей). Следует отметить, что такой режим может быть реализован при любых значениях параметров в исходном уравнении (10), при условии, что характеристическая амплитуда U достаточно мала. Следовательно, мы можем принять β =4 ε /3 , ε ≪1   (коэффициент 4/3 введён для удобства и, очевидно, не играет роли в асимптотической процедуре). Затухание также считается малым, и, следовательно, можно принять, что диссипативный коэффициент также имеет порядок ε. Тогда уравнение (11) приводится к виду

                                    (12)

где коэффициент σ учитывает соотношение параметров λи β.

Переход к комплексным переменным, сопровождаемый заменой зависимой переменной, даёт

φ= e^-iτ(w_τ +iw).                                                    (13)

Уравнение (13) можно приближённо решить при помощи метода многих масштабов [9]:

τ_k=ε^kτ,   k=0,1,…

φ= φ₀ +ε φ₁+…,      φ_k = φ_k(τ₀ , τ₁ ,…)                (14)

Последовательно приравнивая нулю суммы членов порядка ε⁰, ε¹ ,… и используя полярное представление комплексной функции  , где N и δамплитуда и угол соответственно, получим решение. Зависимость решения от масштабов более высокого порядка по малому параметру для краткости здесь не анализируется и, таким образом является приближённым. В результате приближённое решение уравнения (12), которое можно аналитически или численно решить, записывается следующим образом

       (15)

где N₀  и ξ₀ определяются начальными условиями задачи.

Выражение (15) требует некоторых дополнительных комментариев. Во-первых, с формальной точки зрения оно представляется не вполне асимптотически согласованным: некоторые поправки порядка ε содержатся в основном приближении и некоторые из них – вне его. Такое разделение является оправданным, поскольку оставшиеся члены порядка εописывают основные эффекты: затухание (уменьшение амплитуды) и неизохронность (зависимость частоты от амплитуды). На рис. 3 показано сравнение численного и приближённого аналитического решения для демпфированного нелинейного осциллятора. На рис. 3б точность приближённого решения (15) оценивается путём сопоставления с результатом численного решения исходного уравнения.

Как видно, в случае слабой нелинейности согласие очень хорошее, хотя на больших временах можно наблюдать расхождения в связи с ростом фазового сдвига. Даже при относительно сильной нелинейности (рис. 3б) приближение ещё работает, хотя и с более заметной погрешностью.

 Рис. 3. Сравнение точного численного и приближённого аналитического решения для демпфированного нелинейного осциллятора. Сплошная линия соответствует численному решению, пунктирная – приближённому аналитическому решению:

   а – ε=0,05 , σ = 1 , х(0) =1 , dx/dt(0)=-0,025 ;   

б – ε=1 , σ = 1 , х(0)=1 ,  dx/dt(0)= -0,5

Поперечные колебания струнной задачи с пружинным демпфером (модель 2)

Рассмотрим модель оптического кабеля [6], представленную на рис. 4.

Рис. 4. Поперечные колебания струнной задачи с пружинным демпфером

Здесь вертикальное поперечное смещение u (x, t) вдоль струны, в котором x – позиция вдоль струны, а t – время, удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

u_tt = a²u_xx ,    0<x<∞ ,   t>0

u (x,0) =φ (x) ,  u_t (x,0)=ψ (x)                                                            (16)

где a=√T/m  – скорость волны;

T – натяжение;

m – массовая плотность струны (масса единицы длины).

Здесь начальное смещение и начальная скорость струны равны φ (x)  и ψ (x)  соответственно. Для не жёсткого, амортизирующего крепления или системы с пружинным демпфером справедливо следующее уравнение для граничных условий в точке крепления (х = 0):

mu_tt (0,t )=Tu_x (0,t) -ku (0,t) -αu_t (0,t )                                           (17)

Здесь масса m, жесткость пружины k и коэффициент демпфирования демпфера α являются положительными константами. Волна распространяется между x = 0 и x = ∞, как показано в модели 2. Общее решение системы уравнений (17) и (18) имеет вид бегущей волны:

u(x, t) = F(x -at) + G(x + at).                                                          (18)

Здесь функции F и G представляют распространяющиеся возмущения вдоль струны в обоих направлениях.

Как уже отмечалось, сами по себе подвешенные ОК (рис. 5) обычно достаточно сильно натянуты и могут рассматриваться как струны.

Рис. 5. Пример структуры кабеля. Тип жилы свободный буфер, армирующие элементы – стеклонити. Материал оболочки: FRNC (flame retardant non corrosive)

Для оценки собственных частот колебаний важна лишь масса ОК, кабель может при этом быть практически любым. Зная конструкцию ОК и применяемые материалы (рис. 5), можно легко определить среднюю массу на единицу длины. Так, вариант подвеса оптического кабеля для внутренней прокладки с силой продольного растяжения Т₀, принятой половине максимальному тянущему усилию, определяет максимально возможную частоту колебаний 4,8 Гц. На рис. 6, 7 показаны характеристики колебаний ОК длиной 10 м с удельным весом 0,065 кг/м, натянутого с силой Т₀ = 600 Н, находящегося в прямолинейном положении равновесия, концы неподвижно закреплены. В момент t = 0 кабелю сообщается ударом импульс на ограниченном участке 2δ протяжённостью 0,4 метра в центре x₀=L/2 , скорость при ударе составила  v₀=1,5  м/с.

Рис. 6. Характер геометрических изменений оптического кабеля длиной 10 м при ударном воздействии на ограниченном участке в центре. Положения точек кабеля показано за полупериод t₀/2 для времён, кратных времени t₀/16. Профили смещены вправо и вверх для каждого шага по времени для удобства визуального представления, максимальное вертикальное смещение не превышает 0,005 м

Рис. 7. Профиль скоростей по длине оптического кабеля при ударном воздействии на ограниченном участке в центре. Положения точек кабеля показано за четверть периода t₀/4 для времён, кратных времени t₀/16. Профили смещены вверх для удобства визуального представления, скорость смещения не превышает 1,5 м/с

При самых неблагоприятных условиях удара по всей длине кабеля полная энергия при скорости ударного воздействия v₀=1,5  м/с составит 0,73 Дж. Сосредоточенный удар с такой энергией привёл бы к разрушению кабеля, это, кстати, сравнимо с действием перфоратора. Если же удар произойдёт на участке 0,4 метра в центре кабеля с той же скоростью, энергия первой гармоники составит 0,0023 Дж, далее энергии гармоник плавно убывают, а общая энергия, переданная кабелю, составит 0,029 Дж. При этом соблюдается соотношение энергии и протяжённости участков кабеля, подверженных ударному воздействию, равное 2δ:L=1:25 . Расчёт энергии E_nn – гармоники производился по формуле [10, 11]:

                       (19)

На рис. 8 показано поле возможных частот для ОК с массой в пределах 60–200 г/м и силой натяжения в пределах 200-1000 Н для длины пролета при прокладке 10 м.

Рис. 8. Поле частот колебаний оптического кабеля

Известно, что при землетрясениях в пределах частоты синусоидальной вибрации от 2 до 10 Гц наблюдается максимальная амплитуда ускорения 2,5 м/с² для обобщённого спектра воздействия землетрясения в горизонтальной плоскости и с коэффициентом 0,7 для вертикальной плоскости [13]. Общий диапазон рассматриваемых частот составляет от 0 до 30 Гц. Таким образом, ОК, закреплённые с тем или иным шагом на стенах туннелей или коллекторов, как раз попадают в указанный диапазон частот.

Поперечные колебания в рамках модели балки (модель 3)

Уравнение для поперечных колебаний кабельного изделия, если в составе его конструкции можно выделить элемент с доминирующей жёсткостью, например стеклопруток, можно описать моделью балки Эйлера-Бернулли [12].

Краевые условия определяют в тех сечениях, где происходит крепление балки (стержня или прутка), пусть даже это происходит не жёстко, например через слой полимерной изоляции или имеет свойства скользящей заделки. Последнее требует применения смешанных граничных условий. Перемещение u  и (или) производные от u  по х могут сочетаться в любых вариантах в зависимости от вида крепления. В рассматриваемом случае крепление осуществляется по краям (на концах) кабеля.

Анализ простой динамической задачи для линейной балки Эйлера-Бернулли конечной длины, описывается следующим дифференциальным уравнением в частных производных:

где EJ – жёсткость при изгибе;

m – линейная плотность;

u  – трансверсальное смещение.

Для шарнирно опертой балки граничные условия можно записать следующим образом:

x=0, L;  u=0;                                 (29)

и нормальные колебания имеют вид

где

Так, для стеклопрутка длиной 10 м частота первой гармоники, в зависимости от его толщины, может составляет 4–15 Гц. Если граничные условия отличаются от (20), точно выполнить такую простую модальную редукцию не всегда возможно. Например, для случая защемленных краёв граничные условия имеют вид:

Тогда нормальные колебания могут быть представлены следующим образом:

w (x,t )= W_n(x) exp (iω_nt ),     n=1,2,3… 

Заключение

Основываясь на приведённом выше анализе полученных результатов, можно сделать следующие выводы.

В данной работе представлен алгоритм расчёта динамического отклика ОК при воздействии сейсмически индуцированных горизонтальных и вертикальных смещений в местах крепления кабельных изделий. Была разработана математическая процедура для линейной частотно-зависимой системы пружина/масса, основанная на гармоническом движении закреплённого конца ОК и специфическом отклике на землетрясения в туннелях и коллекторах.

Предлагаемый спектральный подход может быть легко реализован в коде «Python» и гораздо менее требователен, чем полный нелинейный динамический анализ. Авторы полагают, что этот подход может быть распространён и на другие приложения, включающие слабо нелинейные структуры – кабельные линии, подверженные землетрясениям и динамическим ветровым воздействиям. Предположения о выводе должны быть тщательно изучены с точки зрения амплитуды и частоты движения навесного оборудования и свойств кабельных изделий.

Список литературы

1. S. Ali Ghafari Oskoei, Ghyslaine McClure. A novel approach to evaluate the equivalent dynamic stiffness of guy clusters in telecommunication masts under ground excitation // Engineering Structures. – 2011. – Vol. 33. – P. 1764–1773.
2. Potenza Francesco, Lepidi Marco, Di Sabatino Umberto, Gattulli Vincenzo. Nonlinear dynamics of a parametric analytical model for beam-cable-beam structures // Procedia Engineering. – 2017. – Vol. 199. – P. 796–801.
3. M. Bocian, J.M.W. Brownjohn, V. Racic, D. Hester, A. Quattrone, L. Gilbert, R. Beasley. Time-dependent spectral analysis of interactions within groups of walking pedestrians and vertical structural motion using wavelets // Mechanical Systems and Signal Processing. – 2018. – Vol. 105. – P. 502–523.
4. Daniele Zulli, Giuseppe Piccardo, Angelo Luongo. On the nonlinear effects of the mean wind force on the galloping onset in shallow cables // Nonlinear Dyn. – 2021. – Vol. 103. – P. 3127–3148.
5. Daniel Canteroa, Anders Rønnquista, Arvid Naess. Recent Studies of Parametrically Excited Mooring Cables for Submerged Floating Tunnels // Procedia Engineering. – 2016. – Vol. 166. – P. 99 -106.
6. Tugce Akkayaa, Wim T. van Horssen. On the Transverse Vibrations of Strings and Beams on Semi-Infinite Domains // Procedia IUTAM. – 2016. – Vol. 19. – P. 266–273.
7. J.L. Lilien, A. Pinto Da Costa. Vibration amplitudes caused by parametric excitation of cable stayed structures // – 1994. – Vol. 174. – P. 69–90.
8. Irvine M. Cable Structures. – Cambridge: The MIT Press, 1981.
9. Маневич Л.И., Гендельман О.В. Аналитически разрешимые модели механики твердого тела. – М.; Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследований, 2016. – 343 с.
10. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник.  Линейные уравнения математической физики. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 576 с.
11. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике – 4-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 688 с.
12. Доев В.С. Поперечные колебания балок: учеб. пособие. – М.: КНОРУС, 2018. – 412 с.
13. ГОСТ 30546.1–98. Общие требования к машинам, приборам и другим техническим изделиям и методы расчёта их сложных конструкций в части сейсмостойкости. С изменением № 1. – М.: ИПК Издательство стандартов, 1999. – 96 с.