Рассматриваем случай кабелей с изоляцией из пропитанной маслом бумаги.
Одной из проблем при конструировании кабелей постоянного тока является выбор характеристик пропитанной маслом бумаги, от которых зависит распределение напряженностей электрического поля в изоляции и, связанный с этим, выбор ее структуры.
При исходных значениях удельного сопротивления , температуры - и напряженности - удельное сопротивление изоляции [6]
(1) |
Общий подход к расчету напряженности электрического поля в изоляции кабеля постоянного тока основан на решении уравнения, эквивалентного уравнению Гаусса или Пуассона (Лапласа), связывающего плотность тока в изоляции j с общим числом зарядов, вытекающих из объема, ограниченного некоторой поверхностью S - общим током утечки I от жилы через изоляцию
(2) |
(3) |
Точный расчет Е, в общем виде аналитически невозможен. Он ведется численным методом.
1. Полагаем или, эквивалентно, удельное сопротивление, величиной постоянной и .
Тогда, воспользовавшись тем, что ( - приложение к изоляции напряжение), получим обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка с разделяющимися переменными
(4) |
(5) |
(6) |
Из уравнения (5) следует, что напряженности электрического поля в некоторой точке изоляции и на внешней границе будут относится так же, как соответствующие произведения :
(7) |
Теперь, задавая нагрузку кабеля можно определить характер распределения Е по сечению изоляции.
а). Слабонагруженный кабель - проводимость одинакова по сечению: , откуда следует, что наибольшая напряженность поля будет у жилы.
б). Сильнонагруженный кабель. наибольшая напряженность поля будет у оболочки: .
в). Пусть , тогда или=const. В этом случае напряженность поля в каждой точке изоляции будет одинаковой и равный средней .
2. Положим, что температура по сечению изоляции не постоянна, но она может быть определена по температуре жилы :
(8) |
- удельное тепловое сопротивление изоляции, ·см/Вт;
- радиус жилы (или полупроводящего экрана жилы), мм;
r - текущий радиус изоляции, мм.
Сопротивление изоляции зависит от температуры и напряженности электрического поля (1) . Подстановка температуры из уравнения (8) дает
(9) |
Сквозной ток проводимости в изоляции кабеля под действием постоянного напряжения в установившемся режиме определяется (4) напряженностью поля и сопротивлением
(10) |
(11) |
(12) |
(13) |
(14) |
(15) |
"Опорную" точку "а" удобно взять как точку пересечения кривой распределения Е в кабеле без нагрузки (b=0) с кривой распределения Е в кабеле под нагрузкой без учета зависимости .
(16) |
Напряженность электрического поля в этой точке
(17) |
3. Расчет электрического поля, основанный на решении уравнения непрерывности для плотности тока утечки.
Интегральному уравнению (5), по аналогии с дифференциальной формой теоремы Гаусса для переменного тока, соответствует дифференциальное уравнение непрерывности для плотности тока утечки через изоляцию
(18) |
При решении (18) используется, уже известное нам, связь проводимости (или удельного сопротивления ) с температурой и величиной Е.
(19) |
(20) |
(21) |
(22) |
(23) |
Приближенное решение (20) имеет вид: - для кабеля под нагрузкой:
(24) |
(25) |
Формулы (24) и (25) могут непосредственно использоваться при конструировании кабелей постоянного тока.