Теорема Гаусса

Теорема Гаусса – одна из важнейших теорем электростатики. Она соответствует закону Кулона и принципу суперпозиции – сила, действующая на заряд, есть векторная сумма сил Кулона, действующих со стороны всех прочих зарядов. В формуле q1, q2 – заряды взаимодействующих частиц, R - расстояние между ними,  – диэлектрическая постоянная

Теорема Гаусса формулируется и записывается тремя способами (интегральная форма):

1.Поток вектора электрической индукции через любую замкнутую поверхность, окружающую некоторый объем, равен алгебраической сумме свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности

(26)

где - поверхностный интеграл 1-го рода, - элемент поверхности.

2.Учитывая связь индукции и напряженности электрического поля, для однородной и изотропной среды

(27)

3.Если внутри поверхности находятся не только свободные но и связанные заряды (например, определяющие поляризацию), то

(28)

Напомним, что скалярное произведение , а вычисление поверхностного интеграла, когда поверхность S, в общем виде незамкнутая, задана явным уравнением Z=Z(x;y), осуществляется сведением его к двойному по поверхности Д, которая является проекцией поверхности S на плоскость xoy: .

С помощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя определить, как связан исток линий в данной точке поля с плотностью заряда в той же точке поля. Ответ на этот вопрос дает дифференциальная форма теоремы Гаусса.

Разделим (27) на объем V (скаляр), находящийся внутри поверхности S:

(29)

(30)

Здесь в соответствие с теоремой Остроградского-Гаусса

Учитывая приведенные соотношения, получаем для однородной и изотропной среды ( не зависит от координат, следовательно, может быть вынесена за знак div) теорему Гаусса в дифференциальной форме - первое уравнение Максвелла

(31)

где объемная плотность зарядов.

В декартовой системе координат

В цилиндрической

Известно, что . Следовательно, , или

– уравнение Пуассона.

(32)

то

– уравнение Лапласа.

(33)

В декартовой системе координат (x; y; z) В цилиндрической системе координат (r; ; z)

Электрическое поле цилиндрического конденсатора

В цилиндрической системе координат теорема Гауса в дифференциальной форме имеет вид . Электрическое поле симметрично в плоскости, r-z - зависит только от радиуса . Тогда при

(34)

(35)

В отсутствие объемного заряда . Поэтому интегрирование уравнения (35) дает - постоянная интегрирования, и .

В Определим постоянную интегрирования С1, используя соотношение между напряженностью электрического поля и приложенным к конденсатору напряжением.

(36)

и

(37)

Уравнение (37) для напряженности электрического поля справедливо при постоянных параметрах среды.

Значение потенциала на радиусе r определяется из уравнения

(38)

Оптимальное соотношение геометрических размеров конденсатора определим как экстремум электрического поля по параметру r2/r1 при r2 = const .

Равенство нулю полученного выражения (необходимое условие наличия экстремума) возможно при lnx = 1, что означает , и оптимальное соотношение между внутренним и внешним радиусами